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<!DOCTYPE html>

<title>Zustandsgröße</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Zustandsgröße</span></h1>

</header>

</div>

<p>Eine <b>Zustandsgröße</b> ist eine <a href="Makroskopisch" class="mw-redirect" title="Makroskopisch">makroskopische</a> <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größe</a>, die – ggf. zusammen mit anderen Zustandsgrößen – den <a href="Zustand_(Physik)" title="Zustand (Physik)">Zustand</a> eines <a href="Thermodynamisches_System" title="Thermodynamisches System">thermodynamisches Systems</a> beschreibt. Die Zustandsgrößen werden als Variable angesehen. Ihre Werte beschreiben den aktuellen Zustand eines Systems und sind unabhängig davon, auf welchem Weg es zu diesem Zustand gekommen ist. Ihnen gegenüber stehen <a href="Prozessgr%C3%B6%C3%9Fe" title="Prozessgröße">Prozessgrößen</a> wie <a href="Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a> und <a href="W%C3%A4rme" title="Wärme">Wärme</a>, die den Verlauf einer Zustandsänderung beschreiben. Bleiben alle Zustandsgrößen eines Systems zeitlich konstant, befindet sich das System im <a href="Thermodynamisches_Gleichgewicht" title="Thermodynamisches Gleichgewicht">thermodynamischen Gleichgewicht</a> oder in einem stationären <a href="Flie%C3%9Fgleichgewicht" title="Fließgleichgewicht">Fließgleichgewicht</a>.

</p><p>In der <a href="Thermodynamik" title="Thermodynamik">Thermodynamik</a> betrachtet man

</p>

<ul><li><a href="Intensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Intensive Größe">intensive Zustandsgrößen</a> wie <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> und (<a href="Absolute_Temperatur" class="mw-redirect" title="Absolute Temperatur">absolute</a>) <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a></li>

<li><a href="Extensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Extensive Größe">extensive Zustandsgrößen</a> wie <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a>, <a href="Teilchenzahl" title="Teilchenzahl">Teilchenzahl</a> bzw. <a href="Stoffmenge" title="Stoffmenge">Stoffmenge</a> und <a href="Entropie" title="Entropie">Entropie</a>

<ul><li>die <a href="Thermodynamisches_Potential" title="Thermodynamisches Potential">thermodynamischen Potentiale</a>: <a href="Innere_Energie" title="Innere Energie">innere Energie</a>, <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freie Energie</a>, <a href="Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a>, <a href="Gibbs-Energie" title="Gibbs-Energie">Gibbs-Energie</a> und das <a href="Gro%C3%9Fkanonisches_Potential" title="Großkanonisches Potential">großkanonische Potential</a>, die ebenfalls extensive Zustandsgrößen sind.</li></ul></li></ul>

<p>Weitere Zustandsgrößen werden daraus abgeleitet.

</p><p>Einige Zusammenhänge zwischen den Zustandsgrößen werden beschrieben durch die <a href="#Maxwell-Beziehungen">Maxwell-Beziehungen</a> und das <a href="Guggenheim-Quadrat" title="Guggenheim-Quadrat">Guggenheim-Quadrat</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassifizierung">Klassifizierung</h2></div>

<p><span id="Innere_Zustandsgr.C3.B6.C3.9Fe"></span><span id="Innere_Zustandsgröße"></span><span id=".C3.84u.C3.9Fere_Zustandsgr.C3.B6.C3.9Fe"></span><span id="Äußere_Zustandsgröße"></span>In Lehrbüchern der technischen Thermodynamik werden als <b>äußere Zustandsgrößen</b> jene Größen definiert, die den „äußeren“ mechanischen Zustand kennzeichnen: die Koordinaten im Raum und die Geschwindigkeit relativ zu einem Beobachter.

Als <b>innere Zustandsgrößen</b> werden dann die Größen bezeichnet, die die makroskopischen Eigenschaften der Materie innerhalb der Grenzen des thermodynamischen Systems beschreiben, zu ihnen gehören z. B. die innere Energie, der Druck, die Dichte und die Temperatur. Diese werden dort auch und wie in der sonstigen naturwissenschaftlichen Literatur <b>thermodynamische Zustandsgrößen</b> genannt.<sup id="cite_ref-BaehrKabelac_S_16_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-BaehrKabelac_S_16-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Bei den thermodynamischen Zustandsgrößen wird zwischen <b>extensiven</b> und <b>intensiven Zustandsgrößen</b> unterschieden. <i>Extensive Zustandsgrößen</i> sind Zustandsgrößen, deren Maß mit der Größe des Systems skaliert. <i>Intensive Zustandsgrößen</i> sind Zustandsvariablen, deren Maß nicht von der Größe des Systems abhängt. Teilt man bspw. ein System in zwei in jeder Hinsicht gleiche Teile auf, nimmt jede extensive Zustandsgröße den halben Wert an, wenn man zwei in Bezug auf die Zustandsgröße gleichartige Systeme miteinander vereinigt, nimmt sie den doppelten Wert an. Intensive Zustandsgrößen ändern dadurch ihren Wert nicht.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Beispiel: Die Menge Flüssigkeit in einem Glas ist eine extensive Größe, da zwei Gläser die doppelte Menge Flüssigkeit enthalten. Die Temperatur der Flüssigkeit hingegen ist eine intensive Größe, da zwei Gläser davon nicht doppelt so warm sind wie ein einzelnes.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Extensive_Zustandsgrößen"><span id="Extensive_Zustandsgr.C3.B6.C3.9Fen"></span>Extensive Zustandsgrößen</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Zustandsfunktionen_oder_Thermodynamische_Potentiale">Zustandsfunktionen oder Thermodynamische Potentiale</h4></div>

<p>Die Thermodynamischen Potentiale <a href="Innere_Energie" title="Innere Energie">innere Energie</a>, <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freie Energie</a>, <a href="Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a> und <a href="Gibbs-Energie" title="Gibbs-Energie">Gibbs-Energie</a> sowie das <a href="Gro%C3%9Fkanonisches_Potential" title="Großkanonisches Potential">Großkanonische Potential</a> sind extensive Zustandsgrößen. Sie beschreiben von ihrem Informationsgehalt das thermodynamische System vollständig.

</p><p>Die thermodynamischen Potentiale misst man gegenüber einem willkürlich festgesetzten Nullpunkt – wie z. B. dem Anfangszustand. Dann entspricht die Änderung der inneren Energie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle U}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d09ac8beeb923544e904c8db334be7e5c2ca8ad6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle U}" loading="lazy"></span> mit den natürlichen Variablen Entropie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e024f3a2fae975a5f5898f3adc343a4cf74f19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle S}" loading="lazy"></span> und Volumen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4d3a7c3cd696169e3bfa23c60c696ec0722ea2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle V}" loading="lazy"></span> der zugeführten Wärme <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle Q}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90e059b946d49fffd482d23a4df6ad33fc179146.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle Q}" loading="lazy"></span> und Arbeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle W}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7d4bb9fb18a974e9e3ef8960b5c04a06878180c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle W}" loading="lazy"></span>:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \Delta U(S,V)=Q+W}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29ae80f85085e3cda1dfae9e44ebd23b072ffe27.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \Delta U(S,V)=Q+W}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bzw. als vollständiges Differential ausgedrückt:

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} U(S,V)=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6651d9cc31872f10ef673bbc175a0c24bbe538d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.595ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} U(S,V)=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Sie unterscheiden sich in ihren natürlichen Variablen, die ihrerseits Zustandsgrößen sind und lassen sich mit Hilfe der <a href="Legendre-Transformation" title="Legendre-Transformation">Legendre-Transformation</a> ineinander überführen. Daraus ergibt sich z. B. die Enthalpie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle H}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9157e3feb2fe8b8c41af03a6def834de1ea729aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle H}" loading="lazy"></span> mit deren natürlichen Variablen Entropie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e024f3a2fae975a5f5898f3adc343a4cf74f19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle S}" loading="lazy"></span> und Druck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21b99f99e3ca9227614414c838c629a136400a3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle p}" loading="lazy"></span> als:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle H(S,p)=U+pV}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ef3c347daf27fc2d70cc280ccddc1e8c66f0e24.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.254ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle H(S,p)=U+pV}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und ihr vollständiges Differential lautet:

</p>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} H(S,p)=T\,\mathrm {d} S+V\,\mathrm {d} p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8807f2d6252079a212bdd3dec5cc5beead881301.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.258ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \mathrm {d} H(S,p)=T\,\mathrm {d} S+V\,\mathrm {d} p}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Extensive_Zustandsvariablen">Extensive Zustandsvariablen</h4></div>

<p>Bei der Betrachtung der thermodynamischen Potentiale fließen folgende <a href="Extensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Extensive Größe">extensive Zustandsgrößen</a> als natürliche Variablen ein: <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a>, <a href="Entropie" title="Entropie">Entropie</a> und <a href="Teilchenzahl" title="Teilchenzahl">Teilchenzahl</a> bzw. <a href="Stoffmenge" title="Stoffmenge">Stoffmenge</a>. In dynamischen oder von energiespeichernden Feldern beeinflussten Systemen sind auch die <i>…ströme</i> oder <i>…flüsse</i> extensive Zustandsgrößen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Intensive_Zustandsgrößen"><span id="Intensive_Zustandsgr.C3.B6.C3.9Fen"></span>Intensive Zustandsgrößen</h3></div>

<p>Bei der Betrachtung der thermodynamischen Potentiale fließen folgende <a href="Intensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Intensive Größe">intensive Zustandsvariablen</a> als natürliche Variablen ein: <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a>, (absolute) <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> und <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemisches Potential</a>. Die Änderung einer intensiven Größe hat immer die Änderung des thermodynamischen Gleichgewichts zur Folge. In dynamischen oder von energiespeichernden Feldern beeinflussten Systemen sind auch die Geschwindigkeiten und Feldstärken intensive Zustandsgrößen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kombinationen">Kombinationen</h3></div>

<p>Kombinationen aus intensiven Zustandsgrößen desselben Zustands sind wiederum intensive Zustandsgrößen. Solche aus einer extensiven und einer intensiven Größe sind extensiv. Solche Kombinationen treten als Differenz der thermodynamischen Potentiale auf. In diesem Zusammenhang wird immer eine Größe mit ihrer jeweils konjugierten Größe multipliziert. Ein Beispiel hierfür ist die <a href="Verschiebearbeit" title="Verschiebearbeit">Verschiebearbeit</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle H-U=p\,V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle H-U=p\,V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/048c6c87a85ee837627aab864d55d79168d19632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.129ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle H-U=p\,V}" loading="lazy"></span>. Sie stellt die Differenz zwischen der Enthalpie und der inneren Energie dar. Sie trägt zwar den Namen einer <i>…arbeit</i> ist aber im Gegensatz zu anderen <i>…arbeiten</i> keine Prozessgröße.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zusammenhänge"><span id="Zusammenh.C3.A4nge"></span>Zusammenhänge</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zustandsgleichungen">Zustandsgleichungen</h3></div>

<p>Experimentelle Befunde zeigen, dass die genannten Größen nicht unabhängig voneinander geändert werden können, was auch in der <a href="Gibbssche_Phasenregel" title="Gibbssche Phasenregel">Gibbssche Phasenregel</a> bzw. in der Festlegung des Zustands eines Systems auf eine bestimmte Anzahl <a href="Freiheitsgrad" title="Freiheitsgrad">Freiheitsgrade</a> zum Ausdruck kommt. Die entsprechenden Zusammenhänge zwischen den Zustandsgrößen eines Systems beschreiben <b>Zustandsgleichungen</b>.

</p><p>Gase unter <a href="Normalbedingung" class="mw-redirect" title="Normalbedingung">normalen Bedingungen</a> lassen sich durch <a href="Ideales_Gas" title="Ideales Gas">Ideales Gas</a> annähernd beschreiben. Es gilt die <a href="Allgemeine_Gasgleichung" class="mw-redirect" title="Allgemeine Gasgleichung">Allgemeine Gasgleichung</a>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle pV=nRT}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/57c364f7f0b47178cfd35c3bbaf6dcb22a98cf44.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:10.94ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle pV=nRT}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>mit der <a href="Allgemeine_Gaskonstante" class="mw-redirect" title="Allgemeine Gaskonstante">allgemeinen Gaskonstante</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle R=8{,}3145\,\mathrm {\frac {J}{mol\,K}} }">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle R=8{,}3145\,\mathrm {\frac {J}{mol\,K}} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2c48386cad4748261809d92121532eea6bf91234.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:16.859ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \textstyle R=8{,}3145\,\mathrm {\frac {J}{mol\,K}} }" loading="lazy"></span>.

</p><p>Eine bessere Näherung für <a href="Reales_Gas" title="Reales Gas">reale Gase</a> bringt die <a href="Van-der-Waals-Gleichung" title="Van-der-Waals-Gleichung">Van-der-Waals-Gleichung</a>:

</p>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(p+a{\frac {n^{2}}{V^{2}}}\right)(V-bn)=nRT}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5ec0a41d4edef4fa83e347b4fc83cc0d9ac97bb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.578ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \left(p+a{\frac {n^{2}}{V^{2}}}\right)(V-bn)=nRT}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Maxwell-Beziehungen">Maxwell-Beziehungen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Maxwell-Beziehungen" class="mw-redirect" title="Maxwell-Beziehungen">Maxwell-Beziehungen</a></i></div>

<p>Die <b>Maxwell-Beziehungen</b> oder <b>Maxwell-Relationen</b> der <a href="Thermodynamik" title="Thermodynamik">Thermodynamik</a> (nach dem Physiker <a href="James_Clerk_Maxwell" title="James Clerk Maxwell">James Clerk Maxwell</a>) beschreiben die Zusammenhänge zwischen Änderungen der verschiedenen Zustandsgrößen, so lässt sich z. B. die Änderung der <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle T}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0db935b3f9dd17fc51bb8396c07fe5cfe37bef2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle T}" loading="lazy"></span> oder <a href="Entropie" title="Entropie">Entropie</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle S}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79e024f3a2fae975a5f5898f3adc343a4cf74f19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle S}" loading="lazy"></span> mit Hilfe der Änderungen anderer Zustandsgrößen, z. B. <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle p}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/21b99f99e3ca9227614414c838c629a136400a3c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle p}" loading="lazy"></span> oder <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle V}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4d3a7c3cd696169e3bfa23c60c696ec0722ea2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \textstyle V}" loading="lazy"></span>, ausdrücken:

</p>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V};\qquad \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e3a6485f5000914aa6f9fec66117d07a6dc0b95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:47.836ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}=-\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)_{V};\qquad \left({\frac {\partial T}{\partial p}}\right)_{S}=\left({\frac {\partial V}{\partial S}}\right)_{p}}" loading="lazy"></span></dd>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=-\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T};\qquad \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68b282e7af8bf671c0e17eda934d32b7ced56b02.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:48.029ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}=-\left({\frac {\partial S}{\partial p}}\right)_{T};\qquad \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}=\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Guggenheim-Quadrat">Guggenheim-Quadrat</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Guggenheim-Quadrat" title="Guggenheim-Quadrat">Guggenheim-Quadrat</a></i></div>

<p>Das <b>Guggenheim-Quadrat</b> oder <b>Guggenheim-Schema</b> ist ein Hilfsmittel, um einige einfache, aber grundlegende Beziehungen der <a href="Thermodynamik" title="Thermodynamik">Thermodynamik</a> aus dem Gedächtnis heraus aufzustellen. Sie lassen sich sowohl auf die <a href="Maxwell-Beziehung" title="Maxwell-Beziehung">Maxwell-Beziehungen</a> als auch auf die <a href="Charakteristische_Funktion_(Physik)" title="Charakteristische Funktion (Physik)">charakteristischen Funktionen</a> anwenden. Verknüpft werden die <a href="Entropie" title="Entropie">Entropie</a> S, die <a href="Innere_Energie" title="Innere Energie">innere Energie</a> U, das <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> V, die <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freie Energie</a> F (auch <a href="Helmholtz-Energie" class="mw-redirect" title="Helmholtz-Energie">Helmholtz-Energie</a> A), die <a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> T, die <a href="Gibbs-Energie" title="Gibbs-Energie">Gibbs-Energie</a> G, der <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> p, und die <a href="Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a> H.

</p><p>Es ist nach <a href="Edward_Guggenheim" title="Edward Guggenheim">Edward Guggenheim</a> benannt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Merkhilfen_für_drei_Freiheitsgrade"><span id="Merkhilfen_f.C3.BCr_drei_Freiheitsgrade"></span>Merkhilfen für drei Freiheitsgrade</h4></div>

<p>Das Guggenheim-Quadrat beschreibt Systeme mit zwei Freiheitsgraden. Für drei Freiheitsgrade wurden Merkhilfen in Form der geometrischen Figuren Oktaeder<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-4" class="reference"><a href="#cite_note-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> und Kuboktaeder<sup id="cite_ref-5" class="reference"><a href="#cite_note-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> beschrieben. Bei diesen sind, im Gegensatz zum Quadrat, die thermodynamischen Potentiale (G, U, H, A etc.) keine Kanten, sondern Flächen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Thermodynamik#Technische_Thermodynamik" title="Thermodynamik">Literatur zur Technischen Thermodynamik</a></li>

<li>Jibamitra Ganguly: <cite style="font-style:italic">Thermodynamics in earth and planetary sciences</cite>. 2008, Thermodynamic Square: A Mnemonic Tool, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>59–60</span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://books.google.com/books?id=aD6TJAuCTVsC&dq=isbn%3A9783540773061&q=Thermodynamic+square#v=snippet&q=Thermodynamic%20square&f=false">Google Books</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.atitle=Thermodynamic+Square%3A+A+Mnemonic+Tool&rft.au=Jibamitra+Ganguly&rft.btitle=Thermodynamics+in+earth+and+planetary+sciences&rft.date=2008&rft.genre=bookitem&rft.pages=59-60" style="display:none"> </span></li>

<li>Wedler, Gerd: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Physikalischen Chemie</cite>. 2. Auflage. Wiley-VCH, 1985, ISBN 978-3-527-29481-7, 2.3.2 – Charakteristische thermodynamische Funktionen, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>252–256</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.atitle=2.3.2+-+Charakteristische+thermodynamische+Funktionen&rft.au=Wedler%2C+Gerd&rft.btitle=Lehrbuch+der+Physikalischen+Chemie&rft.date=1985&rft.edition=2&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783527294817&rft.pages=252-256&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20070724070908/http://van-der-waals.pc.uni-koeln.de/guggen/gugframe.html"><i>The Guggenheim scheme.</i></a> Archiviert vom <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r250917974">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-position:center right!important;background-repeat:no-repeat!important}body.skin-minerva .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/OOjs_UI_icon_external-link-ltr-progressive.svg")!important;background-size:10px!important;padding-right:13px!important}body.skin-timeless .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a,body.skin-monobook .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/MediaWiki_external_link_icon.svg")!important;padding-right:13px!important}body.skin-vector .mw-parser-output .dewiki-iconexternal>a{background-image:url("./_mw_/Link.ernal-small-ltr-progressive.svg")!important;background-size:0.857em!important;padding-right:1em!important}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="dewiki-iconexternal"><a class="external text" href="https://redirecter.toolforge.org/?url=http%3A%2F%2Fvan-der-waals.pc.uni-koeln.de%2Fguggen%2Fgugframe.html">Original</a></span> (nicht mehr online verfügbar) am <span style="white-space:nowrap;">24. Juli 2007</span><span style="display:none">;</span><span class="Abrufdatum" style="display:none"> abgerufen am 15. September 2011</span> (englisch).</span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AZustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.title=The+Guggenheim+scheme&rft.description=The+Guggenheim+scheme&rft.identifier=https%3A%2F%2Fweb.archive.org%2Fweb%2F20070724070908%2Fhttp%3A%2F%2Fvan-der-waals.pc.uni-koeln.de%2Fguggen%2Fgugframe.html&rft.source=http://van-der-waals.pc.uni-koeln.de/guggen/gugframe.html&rft.language=en"> </span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

Hans Dieter Baehr, <a href="Stephan_Kabelac" title="Stephan Kabelac">Stephan Kabelac</a>: <cite style="font-style:italic">Thermodynamik – Grundlagen und technische Anwendungen</cite>. 16. Auflage. Springer Vieweg, Braunschweig 2016, ISBN 978-3-662-49567-4, 1.2 System und Zustand, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>16</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.atitle=1.2+System+und+Zustand&rft.au=Hans+Dieter+Baehr%2C+Stephan+Kabelac&rft.btitle=Thermodynamik+-+Grundlagen+und+technische+Anwendungen&rft.date=2016&rft.edition=16.&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783662495674&rft.pages=16&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Springer+Vieweg" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Günter Cerbe, Gernot Wilhelms: <i>Technische Thermodynamik: Theoretische Grundlagen und praktische Anwendungen.</i> München 2021, ISBN 978-3-446-46519-0, S. 56</span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">L. T. Klauder: <cite style="font-style:italic">Generalization of Thermodynamic Square</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="American_Journal_of_Physics" title="American Journal of Physics">American Journal of Physics</a></cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>36</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>6</span>, 1968, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>556–557</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1119/1.1974977">10.1119/1.1974977</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.atitle=Generalization+of+Thermodynamic+Square&rft.au=L.+T.+Klauder&rft.date=1968&rft.doi=10.1119%2F1.1974977&rft.genre=journal&rft.issue=6&rft.jtitle=American+Journal+of+Physics&rft.pages=556-557&rft.volume=36" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-4">↑</a></span> <span class="reference-text">James M. Phillips: <cite style="font-style:italic">Mnemonic diagrams for thermodynamic systems</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Journal_of_Chemical_Education" title="Journal of Chemical Education">Journal of Chemical Education</a></cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>64</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>8</span>, 1987, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>674</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1021/ed064p674">10.1021/ed064p674</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.atitle=Mnemonic+diagrams+for+thermodynamic+systems&rft.au=James+M.+Phillips&rft.date=1987&rft.doi=10.1021%2Fed064p674&rft.genre=journal&rft.issue=8&rft.jtitle=Journal+of+Chemical+Education&rft.pages=674&rft.volume=64" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-5">↑</a></span> <span class="reference-text">Ronald Forrest Fox: <cite style="font-style:italic">The thermodynamic cuboctahedron</cite>. In: <cite style="font-style:italic"><a href="Journal_of_Chemical_Education" title="Journal of Chemical Education">Journal of Chemical Education</a></cite>. <span style="white-space:nowrap">Band<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>53</span>, <span style="white-space:nowrap">Nr.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>7</span>, 1976, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>441</span>, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1021/ed053p441">10.1021/ed053p441</a></span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe&rft.atitle=The+thermodynamic+cuboctahedron&rft.au=Ronald+Forrest+Fox&rft.date=1976&rft.doi=10.1021%2Fed053p441&rft.genre=journal&rft.issue=7&rft.jtitle=Journal+of+Chemical+Education&rft.pages=441&rft.volume=53" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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